Unidad 3

Matemática Para Primero Medio

Matemática Para Primero Medio

Unidad 3
Productos notables y factorización
Cuadrado de binomio
Para desarrollar el cuadrado de un binomio, se calcula el cuadrado del primer término, luego el doble producto de ambos términos y finalmente el cuadrado del segundo término. Después se simplifican los términos semejantes.
La fórmula varía dependiendo el signo: (a + b)(a² − ab + b²) o (a - b)(a² − ab - b²)
Multiplicación de dos binomios con término en común
Es un producto notable en el que ambos binomios comparten un mismo término. Para resolverlo, se calcula el cuadrado del término común, luego se suma el producto del término común por la suma de los términos distintos y, finalmente, se multiplican los términos distintos entre sí. Cuando aparezcan restas, los números deben considerarse con su signo al sumarlos y multiplicarlos.
Cubo de un binomio
Se calcula el cubo del primer término, luego tres veces el cuadrado del primero por el segundo, después tres veces el primero por el cuadrado del segundo y, finalmente, el cubo del segundo término. Se deben respetar los signos de cada término.
Suma por su diferencia
Es un producto notable en el que se multiplican dos binomios iguales, excepto por el signo de uno de sus términos. Para resolverlo, se calcula el cuadrado del primer término y se resta el cuadrado del segundo.
Factorización por agrupación
La factorización por agrupación es un método que permite factorizar polinomios de cuatro o más términos agrupándolos en conjuntos. El objetivo es encontrar un factor común en cada grupo y luego obtener un factor común entre los resultados obtenidos.
Para factorizar por agrupación, se separan los términos en grupos y se extrae el factor común de cada uno. Luego se verifica que ambos grupos tengan un factor binomial común. Finalmente, se extrae ese binomio común para obtener la factorización completa.
Factorización de diferencia de cuadrados perfectos
La factorización de diferencia de cuadrados perfectos se aplica cuando tienes una expresión de la forma a² − b², es decir, la resta de dos términos que son cuadrados perfectos. El resultado siempre sigue el mismo patrón: se factoriza como el producto de una suma y una diferencia de los mismos términos: (a + b)(a − b).

Trinomio perfecto
Un trinomio perfecto es una expresión de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Se reconoce porque el primer y último término son cuadrados perfectos*, y el término del medio es el doble del producto de sus raíces. Existen dos formas: si el término central es positivo, corresponde a (a + b)², y si es negativo, a (a − b)².
*Un cuadrado perfecto es cualquier número o expresión que resulta de multiplicar algo por sí mismo, es decir, de elevarlo al cuadrado. Por ejemplo, 25 es cuadrado perfecto porque 5×5= 25. Del mismo modo, x² es cuadrado perfecto porque x · x = x².
Trinomio no perfecto
Un trinomio no perfecto es una expresión de tres términos donde el primer término es x² y los otros dos no forman un cuadrado perfecto. Para factorizarlo se buscan dos números que multiplicados den el término independiente y sumados den el coeficiente de x. Si esos números son p y q, el resultado es (x + p)(x + q).

Suma de cubos perfectos
La suma de cubos perfectos se aplica cuando tienes una expresión de la forma a³ + b³, es decir, la suma de dos términos que son cubos perfectos. Se factoriza usando la identidad (a + b)(a² − ab + b²). El primer factor es la suma de las raíces cúbicas, y el segundo es un trinomio que se construye siempre con el mismo patrón.

Factorización por término en común
La factorización por término común consiste en encontrar un factor que se repite en todos los términos de una expresión y escribirlo fuera de un paréntesis. Este proceso puede verse como el opuesto de la propiedad distributiva.

Productos notables y factorización

Para desarrollar el cuadrado de un binomio, se calcula el cuadrado del primer término, luego el doble producto de ambos términos y finalmente el cuadrado del segundo término. Después se simplifican los términos semejantes.

La fórmula varía dependiendo el signo: (a + b)(a² − ab + b²) o (a - b)(a² − ab - b²)

Se calcula el cubo del primer término, luego tres veces el cuadrado del primero por el segundo, después tres veces el primero por el cuadrado del segundo y, finalmente, el cubo del segundo término. Se deben respetar los signos de cada término.

Es un producto notable en el que se multiplican dos binomios iguales, excepto por el signo de uno de sus términos. Para resolverlo, se calcula el cuadrado del primer término y se resta el cuadrado del segundo.

Factorización por agrupación

Para factorizar por agrupación, se separan los términos en grupos y se extrae el factor común de cada uno. Luego se verifica que ambos grupos tengan un factor binomial común. Finalmente, se extrae ese binomio común para obtener la factorización completa.

*Un cuadrado perfecto es cualquier número o expresión que resulta de multiplicar algo por sí mismo, es decir, de elevarlo al cuadrado. Por ejemplo, 25 es cuadrado perfecto porque 5×5= 25. Del mismo modo, x² es cuadrado perfecto porque x · x = x².

La factorización por término común consiste en encontrar un factor que se repite en todos los términos de una expresión y escribirlo fuera de un paréntesis. Este proceso puede verse como el opuesto de la propiedad distributiva.